Найдите наименьшее значение функции: y=³√sin2xcosx+cos2xsinx-7 примечание:это выражение полностью под корнем.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Чтобы найти наименьшее значение функции, необходимо найти минимум подкоренного выражения sin^2(x)cos(x) + cos^2(x)sin(x) - 7.

Для начала заметим, что sin^2(x)cos(x) + cos^2(x)sin(x) = sin(x)cos(x)(sin(x) + cos(x)), поэтому подкоренное выражение можно переписать как sin(x)cos(x)(sin(x) + cos(x)) - 7.

Далее, заметим, что sin(x)cos(x) = 0.5sin(2x), поэтому подкоренное выражение можно дальше упростить до 0.5sin(2x)(sin(x) + cos(x)) - 7.

Найдем производную функции по переменной x:

d/dx [0.5sin(2x)(sin(x) + cos(x)) - 7] = 0.5cos(2x)(sin(x) + cos(x)) + 0.5sin(2x)(cos(x) - sin(x)) = 0.

Приравняем полученное уравнение к нулю и решим его:

0.5cos(2x)(sin(x) + cos(x)) + 0.5sin(2x)(cos(x) - sin(x)) =
cos(2x)(sin(x) + cos(x)) + sin(2x)(cos(x) - sin(x)) =
cos(x)(sin(x) + cos(x)) = sin(x)(cos(x) - sin(x)
cos(x)sin(x) + cos^2(x) = cos(x)sin(x) - sin^2(x
cos^2(x) = -sin^2(x).

Так как cos^2(x) + sin^2(x) = 1, то по условию -sin^2(x) = -0.5, следовательно cos^2(x) = 0.5.

Мы получили, что наша функция достигает минимума при x таком, что cos^2(x) = 0.5, то есть x = π/4 + kπ, где k - целое число.

Подставляя x = π/4 в изначальное уравнение sin^2(x)cos(x) + cos^2(x)sin(x) - 7, получаем:

sin^2(π/4)cos(π/4) + cos^2(π/4)sin(π/4) - 7 = (1/2)(1/2) + (1/2)(1/2) - 7 = 1/4 + 1/4 - 7 = -6.5.

Таким образом, наименьшее значение функции y равно -6.5.