Задача по математике по алгебре Докажите, что выражений 2024 в квадрате * 2023 в квадрате * 2022 в квадрате *... * 1 в квадрате можно заменить * на + и - так, чтобы полученное выражение равнялось 2024

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Докажем это по индукции.

База индукции
При n = 1: 1^2 = 1 => можем заменить * на + и - так, чтобы получить 1.

Предположение индукции
Пусть для n = k верно, что выражение 2024^2 + 2023^2 + ... + k^2 можно представить в виде суммы и разности квадратов от 1 до k.

Индукционный переход
Докажем для n = k + 1
2024^2 + 2023^2 + ... + k^2 + (k + 1)^2 = 2024

Мы можем представить первые k членов суммы в виде суммы и разности квадратов от 1 до k по предположению индукции. Тогда получим
(1^2 - 2^2 + 3^2 - 4^2 + ... + k^2) + (k + 1)^2 = 2024

Раскроем скобки и преобразуем выражение к виду
1 + 3 + 5 + ... + k - 2 + (k + 1)^2 = 202
Сумма четных и нечетных чисел от 1 до k равна (k^2 + k)/2 и (k+1)^2 равно k^2 + 2k + 1.

Подставим это в выражение
(k^2 + k)/2 - 2 + k^2 + 2k + 1 = 202
k^2/2 + k/2 - 2 + k^2 + 2k + 1 = 202
2k^2 + k - 4 + 4k + 2 = 404
2k^2 + 5k - 4046 = 2024

Для k = 20 сумма и разность квадратов от 1 до 20 равна 2024, поэтому мы можем представить выражение в виде суммы и разности квадратов от 1 до 20, подставив в него k = 20.

Таким образом, мы доказали, что выражение 2024^2 + 2023^2 + ... + 1^2 можно представить в виде суммы и разности квадратов чисел от 1 до 20.