Найти геометрическое место точек, сумма квадратов расстояний от которых до вершин равностороннего треугольника равна квадрату периметра этого треугольника

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Геометрическое место точек, для которых сумма квадратов расстояний до вершин равностороннего треугольника равна квадрату его периметра, - это окружность, описанная вокруг этого равностороннего треугольника.

Доказательство:
Пусть ABC - равносторонний треугольник со стороной a. Пусть P - произвольная точка на геометрическом месте точек, для которых сумма квадратов расстояний до вершин равна квадрату периметра треугольника.
Проведем перпендикуляры PA, PB, PC из точки P на стороны треугольника.

Так как треугольник ABC - равносторонний, то сумма квадратов сторон равна квадрату его периметра:
AB^2 + AC^2 + BC^2 = 3a^2.

Сумма квадратов расстояний от точки P до вершин треугольника: PA^2 + PB^2 + PC^2 = a^2 + a^2 + a^2 = 3a^2.

Из условия задачи следует, что PA^2 + PB^2 + PC^2 = AB^2 + AC^2 + BC^2.

Таким образом, точка P удовлетворяет условию, когда PA^2 + PB^2 + PC^2 = AB^2 + AC^2 + BC^2.

Таким образом, геометрическим местом точек, при котором сумма квадратов расстояний до вершин равностороннего треугольника равна квадрату его периметра, является окружность, описанная вокруг этого равностороннего треугольника.