Теория чисел для чайников 2.0 Пусть n⩾2018 будет целым числом и пусть a1,a2,...an,b1,b2,...bn - попарно различные положительные целые числа, не превышающие 5n. Предположим, что последовательность a1/b1,a2/b2,...an/bn образует арифметическую прогрессию. Как доказать, что члены последовательности равны?

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для доказательства того, что члены последовательности равны, следует применить метод математической индукции.

База индукции: При n=1 два члена последовательности образуют арифметическую прогрессию, следовательно, a1/b1=a1.

Предположение индукции: Пусть для некоторого k⩾1 выполнено условие, что если последовательность состоит из k членов и образует арифметическую прогрессию, то все члены последовательности равны.

Индукционный переход: Докажем, что если для n=k последовательность образует арифметическую прогрессию, то все члены последовательности равны.

Рассмотрим теперь n=k+1. Последовательность a1/b1,a2/b2,...an/bn образует арифметическую прогрессию, значит, для последовательности из k членов a1/b1,a2/b2,...ak/bk все члены равны. Теперь добавим к этой последовательности еще один член ak+1/bk+1 и предположим, что это также образует арифметическую прогрессию.

Таким образом, a1/b1=...=ak/bk=ak+1/bk+1. Следовательно, все члены последовательности равны.

Итак, мы доказали по индукции, что если последовательность a1/b1,a2/b2,...an/bn образует арифметическую прогрессию, то все члены последовательности равны.