Как доказать что сумма корней 2+3+5 иррациональна? А кубический корень из 2+ корень из трёх?

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для доказательства иррациональности суммы корней 2+3+5, можно предположить обратное, то есть считать, что эта сумма рациональна. Пусть x = 2+3+5.
Если x - рациональное число, то его можно записать в виде дроби p/q, где p и q - целые числа без общих делителей, и q ≠ 0.
Тогда 2+3+5 = p/q, откуда следует, что 10 = p/q, т.е. p = 10q.
Но это противоречит тому, что p и q не имеют общих делителей, так как 10 имеет делители 1, 2, 5 и 10.
Значит, исходное предположение неверно, и сумма корней 2+3+5 является иррациональным числом.

Чтобы доказать иррациональность кубического корня из 2+ корня из 3, можно применить аналогичное рассуждение.
Предположим, что ∛(2+√3) - рациональное число и обозначим его за x.
Тогда (∛(2+√3))^3 = 2+√3, откуда следует, что x^3 = 2+√3.
Если x - рациональное число, то его куб также будет рациональным.
Однако, так как √3 - иррациональное число, то и (√3)^2 = 3 также будет иррациональным.
Таким образом, 2+3 = 5 - получаем рациональное число.
Это противоречит предположению, что x - рациональное число, значит выводим, что кубический корень из 2+ корень из 3 также является иррациональным числом.