Функция y = y(x) задана неявно уравнением x^2 + 2xy + 2y^2 + x + y – 2. Найдите производную функции в точке М (2;2). Функция y = y(x) задана неявно уравнением x^2 + 2xy + 2y^2 + x + y – 2. Найдите производную функции в точке М (2;2).

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для нахождения производной функции в точке (2;2), сначала найдем явное выражение для функции y(x).

Данное уравнение x^2 + 2xy + 2y^2 + x + y – 2 можно переписать в следующем виде:

y^2 + (2x + 1)y + (x^2 + x - 2) = 0.

Это квадратное уравнение относительно y. Решим его с помощью дискриминанта:

D = (2x + 1)^2 - 4(x^2 + x - 2) = 4x^2 + 4x + 1 - 4x^2 - 4x + 8 = 9.

D > 0, следовательно, у уравнения два корня:

y1 = [-2x - 1 + sqrt(D)] / 2 = (-2x - 1 + 3) / 2 = x + 1,
y2 = [-2x - 1 - sqrt(D)] / 2 = (-2x - 1 - 3) / 2 = -x - 2.

Теперь найдем производную функции y(x) по x:

y'(x) = 1 (при y = x + 1),
y'(x) = -1 (при y = -x - 2).

Поскольку точка М (2;2) лежит на графике функции, то искомая производная в этой точке равна 1.