1. Упростите выражения: а)2√2+√50-√98. b)(3√5-20)√5. c)(√3+√2)² 2. Сравните 1/2*√60 и 20√1/5 3. Сократите дробь а)(5-√5)/(√10-√2). b) (b-1)/(√b-2) 4. Освободите дробь от знака корня в знаменателе a)2/3√7. b)1/√11+3 5. Докажите, что значение выражения 1/1-3√5 + 1/1+3√5 есть число рациональное 6. При каких значениях х дробь (√х-2)/(х-4) принимает наибольшее значение?

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

a) 2√2 + √50 - √98 = 2√2 + √(25^2) - √(27^2) = 2√2 + 5√2 - 7√2 = 0

b) (3√5 - 20)√5 = 3*5 - 20√5 = 15 - 20√5

c) (√3 + √2)² = 3 + 2 + 2√6 = 5 + 2√6

Упростим выражения:

1/2√60 = 1/2 √(2235) = 1/2 2√(3*5) = √1
20√1/5 = 20√(1/5) = 20/√5 = 4√5

Так как 4√5 > √15, то 20√1/5 > 1/2*√60.

a) (5 - √5)/(√10 - √2) = ((5 - √5)(√10 + √2))/((√10 - √2)(√10 + √2)) = (5√10 + 5√2 - 10 - 2)/(10 - 2) = 5√10 + 5√2 - 12

b) (b - 1)/(√b - 2) = ((b - 1)(√b + 2))/((√b - 2)(√b + 2)) = b√b + 2b - √b - 2

4.

a) 2/(3√7) = 2/(3√7) * (√7/√7) = 2√7/21

b) 1/(√11 + 3) = 1/(√11 + 3) * (√11 - 3)/(√11 - 3) = (√11 - 3)/8

1/(1 - 3√5) + 1/(1 + 3√5) = (1 + 1)/(1 - 3√5 + 1 + 3√5) = 2/2 = 1, следовательно это число рациональное.

6.

Для поиска наибольшего значения дроби (√x-2)/(x-4) найдем производную:

f'(x) = -(√x-2)/(2(√x)(x-4)) + (√x-2)/(x-4)^2 = 0

-(√x-2)(x-4) + √x - 2 =
-x + 4 + √x - 2 + √x - 2 =
2√x - x =
2√x =
4x = x^
x^2 - 4x =
x(x - 4) = 0

x = 0 или x = 4

Таким образом, дробь будет принимать наибольшее значение при x = 4.