Точка движется прямолинейно по закону x(t)=корень квадратный из t. Покажите, что ее ускорение пропорционально кубу скорости.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Ускорение точки определяется как производная её скорости по времени:
a(t) = d/dt(v(t)) = d/dt(d/dt(x(t))) = d^2(x(t))/dt^2

Так как x(t) = sqrt(t), то скорость v(t) равна производной от x(t):
v(t) = d(x(t))/dt = d(sqrt(t))/dt = 1/(2*sqrt(t))

Теперь найдем ускорение:
a(t) = d^2(x(t))/dt^2 = d^2(sqrt(t))/dt^2 = d(1/(2sqrt(t)))/dt = -1/(4tsqrt(t)) = -1/(4t^(3/2))

Таким образом, мы видим, что ускорение точки пропорционально -1/t^(3/2) или, что то же самое, -1/(v(t))^3. Значит, ускорение точки пропорционально кубу скорости.