Рыцари и лжецы, задачка из олимпиады На острове дружно живут 30 аборигенов, каждый из них либо рыцарь либо лжец. Каждый абориген сказал: "Среди всех моих соседей по острову ровно 7 несовершеннолетних." Сколько лжецов может быть на острове? В ответ запишите сумму всех возможных вариантов ответа. Введите целое число или десятичную дробь.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Сначала заметим, что у одного аборигена не может быть более 7 детей среди его соседей, так как в этом случае было бы больше 30 человек.

Предположим, что на острове $k$ лжецов. Каждый из них сказал правду о количестве детей среди своих соседей, то есть у каждого лжеца ровно 7 соседей-детей. Таким образом, у лжецов в сумме $7k$ детей.

Остальные $30-k$ аборигенов являются рыцарями. Если бы у рыцаря было бы более 7 соседей-детей, то это бы означало, что среди рыцарей в сумме больше $7(30-k)$ детей. Но так как всего детей на острове 210, а это значит, что у рыцарей в сумме $210-7k$ детей, то есть $210-7k\geq 7(30-k)$, откуда $210-7k\geq 210-7k$, что выполняется при всех $k$. Следовательно, возможно $k$ лжецов при условии, что в сумме имеется $210-7k$ детей, и они говорят правду.

Таким образом, минимальное возможное число лжецов равно 0 (в этом случае все 30 человек - рыцари) и максимальное возможное число лжецов равно 30 (в этом случае все 30 человек - лжецы). Сумма всех возможных вариантов ответа: $0+1+2+...+30= \frac{30\cdot31}{2}=465$. Ответ: $\boxed{465}$.