Нужна помощь с решением задачи При каком значении x точки М (X, 0, 1), А (1, 3, 0), В (0, 1, -2) и С (-4, 0, 1) будут лежать в одной плоскости?

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для того чтобы точки M, A, B и C лежали в одной плоскости, их координаты должны удовлетворять уравнению плоскости.

Уравнение плоскости векторными методами можно записать следующим образом:

(A - B) (A - C) = n (X - A)

где n - нормальный вектор к плоскости, (A - B) и (A - C) - векторы, составленные из координат точек A, B, C и X соответственно.

Развернем крестовое произведение и найдем нормальный вектор (n) к плоскости:

n = (B - A) x (C - A) = ((0-1)i + (1 - 3)j + (-2-0)k) x ((-4-1)i + (0-3)j + (1-0)k)
= (-i - 2j - 2k) x (-5i - 3j + k)
= (6i + 5j - 7k)

Подставляем найденный нормальный вектор и координаты точек A и X в уравнение плоскости:

(6, 5, -7) (X - (1, 3, 0)) = 0
(6, 5, -7) (X1 - 1, X2 - 3, X3 - 0) = 0

6(X1 - 1) + 5(X2 - 3) - 7(X3 - 0) = 0
6X1 - 6 + 5X2 - 15 - 7X3 = 0
6X1 + 5X2 - 7X3 - 21 = 0

Теперь подставляем координаты точки M(X, 0, 1) в полученное уравнение:

6X + 50 - 71 - 21 = 0
6X - 28 = 0
6X = 28
X = 28/6
X = 14/3

Итак, при значении x = 14/3 точки M, A, B и C лежат в одной плоскости.