В треугольник ABC вписана окружность, которая касается сторон AB, BC и CA в точках P, Q и R. В треугольник ABC вписана окружность, которая касается сторон AB, BC и CA в точках P, Q и R. Найдите AP, если AB=27 см, BC=22 см, CA=15 см.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала заметим, что точки касания окружности с сторонами треугольника делят эти стороны на отрезки, длина которых является радиусом окружности. Из этого утверждения следует, что AP + PB = AQ + QC = CR + RA.

Поскольку AP + PB = AB = 27 см, и CR + RA = AC = 15 см, то AP = 27 - PB и RA = 15 - CR.
Также известно, что AB+BC+AC = 27+22+15 = 64 см. С другой стороны, это также равно чему, если сложить AR+RP с двумя другими радиусами, проходящими через точки касания с сторонами треугольника, то есть AR + RP + CR + CQ + BQ + BP = 64 см.

Теперь мы имеем систему уравнений:
AP = 27 - BP
RA = 15 - CR
AR + RP + CR + CQ + BQ + BP = 64

Так как AP + BP = AQ + QC = CR + RA, то их можно заменить на AB, BC и AC соответственно:
AB + BC + AC = 27 + 22 + 15 = 64

Отсюда следует, что AP = AB - BP = 27 - BP = 15.

Итак, AP = 15 см.