Через вершину A прямоугольника ABCD проведена прямая ℓ, как изображено на рисунке. Из точек B и D опущены Через вершину A прямоугольника ABCD проведена прямая ℓ, как изображено на рисунке. Из точек B и D опущены перпендикуляры BX и DY на прямую ℓ. Найдите длину отрезка XY, если известно, что BX=5, DY=12, BC=2AB.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Обозначим точку пересечения прямой ℓ с отрезком AB за E, а точку пересечения прямой ℓ с отрезком AD за F. Так как BC = 2AB, то AB = 1/2 BC.

Из подобия треугольников BEX и DEC получаем:

BX/DE = AB/BC

5/DE = 1/2

DE = 10

Аналогично, из подобия треугольников DFY и DAC получаем:

DY/DF = AC/AD

12/DF = BC/AB

12/DF = 2

DF = 6

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник DEF. Из его свойств, мы можем найти длину отрезка XY:

(DF)^2 = (DE)^2 + (EF)^2

6^2 = 10^2 + (EF)^2

36 = 100 + (EF)^2

(EF)^2 = 64

EF = 8

Таким образом, длина отрезка XY равна 8.