Стереометрия, пирамида и шар В треугольной пирамиде ABCD известно: AB=CD=12, AD=BC=4, ∠ABC=120∘. Найдите R2, где R — радиус наименьшего шара, в который можно поместить такую пирамиду.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Заметим, что треугольник ABC является равносторонним, так как AB=BC=AC=12. Поскольку BC=12, то высота пирамиды, опущенная из вершины A, делит треугольник ABC на два равных равнобедренных треугольника со стороной BC=12 и высотой h. Значит, h=6*√3.

Поделим пирамиду на пирамиду верхнего уровня и усеченную пирамиду на нижнем уровне (подразумевается, что вершина нижней стороны является отмеченной точкой):

1) Мы можем построить сферу радиусом R, проходящую через точки A, B, C и D;
2) Мы можем построить меньшую сферу радиусом R', проходящую через точки A, 2B, 2C и 2D.

Таким образом, пирамида ABCD содержится в сфере радиусом R и одновременно в сфере радиусом R'.
R равен половине диагонали основания, поэтому R=6√3.

Теперь найдем R'. Заметим, что треугольники ABD и 2B2D2 являются подобными с коэффициентом 1/2 (обратите внимание, что BA=B2A2=6√3). Соответственно, BD=BA*2=12√3. Тогда радиус R' равен половине диагонали основания 2B2C2D2 и равен 6√3.

Таким образом, R2=6√3*6√3=108.