Задача по геометрии В прямоугольном треугольнике АВС биссектриса угла А делит катет ВС на отрезки 4 см и 5 см. На какие отрезки делит эта биссектриса высоту CD, опущенную на гипотенузу?

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть CD = x, тогда пусть BC = a, AC = b, AB = c, где a > b > c;

Из условия задачи мы знаем, что BD = 4 см и DC = 5 см. Так как CD - высота, то AD - проекция AC на гипотенузу.

Сначала найдем площади треугольников ABC и ABD:
S(ABC) = 0.5 a b,
S(ABD) = 0.5 4 x = 2x.

По теореме биссектрис прямоугольного треугольника имеем:

S(ABC) / S(ABD) = AB / AD,
0.5 a b / 2x = c / AD,
0.5 a b AD = 2x c,
a b AD = 4c * x.

Также на основании теоремы Пифагора знаем, что a^2 = b^2 + c^2, или a = sqrt(b^2 + c^2). Подставим в уравнение выше и упростим:

sqrt(b^2 + c^2) b AD = 4c x,
b b AD = 4c x,
b^2 CD = 4c x.

Теперь заметим, что треугольник BCD - прямоугольный, следовательно применим теорему Пифагора к нему: BC^2 = BD^2 + CD^2. Учитывая все известные данные, получаем:

a^2 + b^2 = 4^2 + 5^2,
b^2 = 16 + 25 = 41, b = sqrt(41).

Таким образом, CD = 4b / 5 = 4 * sqrt(41) / 5.