Длина общей хорды двух кругов радиуса корень из 2 равна 2. Найдите площадь общей части этих кругов

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для решения данной задачи рассмотрим треугольник, образованный радиусами и хордой между двумя точками пересечения кругов.

Так как радиус одного из кругов равен корню из 2, то длина половины хорды будет равна $\sqrt{2}$.

Далее рассмотрим правильный треугольник со стороной $\sqrt{2}$:

[
\begin{aligned}
a^2 + b^2 &= c^2\
(\sqrt{2})^2 + (\sqrt{2})^2 &= c^2\
2 + 2 &= c^2\
4 &= c^2\
c &= 2
\end{aligned}
]

Таким образом, мы нашли, что длина одной стороны треугольника равна 2. Значит, площадь треугольника равна $\frac{1}{2} \cdot a \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot \sqrt{2} = \sqrt{2}$.

Теперь найдем площадь сегмента, образованного хордой и дугой между точками пересечения кругов. Площадь сегмента можно найти как разность площади сектора и площади треугольника.

Площадь сектора равна $\frac{1}{2} \cdot r^2 \cdot \alpha$, где r - радиус, а $\alpha$ - угол, на центр которого проецируется хорда. Так как внешний угол треугольника равен углу в центре, то $\alpha = 120^\circ$. Таким образом, площадь сектора равна $\frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 120 = 120$.

Теперь вычислим площадь сегмента:

$S{\text{сегмента}} = S{\text{сектора}} - S_{\text{треугольника}} = 120 - \sqrt{2} \approx 117.59$

Итак, площадь общей части этих двух кругов равна примерно 117.59.