Докажите что у уравнения нет отрицательных корней
Докажите, что у уравнения x^4-2x^3-2x^2-5x+1=0 нет отрицательных корней.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для доказательства этого утверждения можно воспользоваться методом Рациональных корней.
Предположим, что уравнение имеет отрицательный корень. Пусть x = -a, где a > 0.
Подставим это значение в уравнение:
(-a)^4 - 2(-a)^3 - 2(-a)^2 - 5(-a) + 1 = 0
a^4 + 2a^3 - 2a^2 + 5a + 1 = 0

Заметим, что все коэффициенты у данного уравнения положительные числа.
По теореме Безу, любой рациональный корень многочлена с целыми коэффициентами имеет вид p/q, где p - делитель свободного члена, а q - делитель старшего коэффициента.
Так как свободный член равен 1 и старший коэффициент равен 1, то все возможные рациональные корни этого уравнения это ±1.
Подставим их в уравнение:
При x = 1: 1^4 - 21^3 - 21^2 - 5*1 + 1 = 1 - 2 - 2 - 5 + 1 = -7 ≠ 0
При x = -1: (-1)^4 - 2(-1)^3 - 2(-1)^2 - 5(-1) + 1 = 1 + 2 - 2 + 5 + 1 = 7 ≠ 0

Таким образом, у уравнения x^4-2x^3-2x^2-5x+1=0 нет рациональных корней, в том числе и отрицательных.