Проведите полное исследование функции y=x^3-6x^2

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Найдем производную функции y=x^3-6x^2
y' = 3x^2 - 12x

Найдем точки экстремума, приравняв производную к нулю и решив уравнение
3x^2 - 12x =
3x(x - 4) =
x = 0 или x = 4

Найдем значения функции в найденных точках
y(0) = 0 - 0 =
y(4) = 4^3 - 6*4^2 = 64 - 96 = -32

Таким образом, точки экстремума функции y=x^3-6x^2: (0, 0) и (4, -32).

Исследуем на выпуклость и вогнутость
Для этого найдем вторую производную функции
y'' = 6x - 12

Подставим точки экстремума
y''(0) = 0 - 12 = -1
y''(4) = 24 - 12 = 12

Так как y''(0) < 0, то точка (0, 0) является точкой максимума, а так как y''(4) > 0, то точка (4, -32) является точкой минимума.

Найдем точку перегиба, приравняв вторую производную к нулю
6x - 12 =
x = 2

Исследуем на выпуклость и вогнутость
Подставим точку перегиба во вторую производную
y''(2) = 6*2 - 12 = 12 - 12 = 0

Таким образом, точка перегиба функции y=x^3-6x^2: (2, -8).

Построим график функции y=x^3-6x^2, учитывая точки экстремума и точку перегиба.

График функции будет иметь вид параболы с вершиной в точке (2, -8), минимумом в точке (4, -32) и максимумом в точке (0, 0).