Исследовать на совместимость систему линейных уравнений и решить тремя способами
ds Исследовать на совместимость систему линейных уравнений и решить тремя способами
а) метод Крамера
б) матричным методом
в) методом Гаусса

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для примера рассмотрим систему уравнений:

1) 2x + y = 5
2) 3x - 2y = -4

Исследуем на совместимость:

Выразим y из первого уравнения: y = 5 - 2x

Подставим во второе уравнение: 3x - 2(5 - 2x) = -4
3x - 10 + 4x = -4
7x - 10 = -4
7x = 6
x = 6 / 7

y = 5 - 2(6 / 7) = 5 - 12 / 7 = 35 / 7 - 12 / 7 = 23 / 7

а) Метод Крамера:

Вычислим определитель матрицы коэффициентов D:

| 2 1 |
| 3 -2 |

D = 2 (-2) - 3 1 = -4 - 3 = -7

Ищем определители Dx и Dy:

| 5 1 |
| -4 -2 |

Dx = 5 (-2) - (-4) 1 = -10 + 4 = -6

| 2 5 |
| 3 -4 |

Dy = 2 (-4) - 3 5 = -8 - 15 = -23

Теперь находим x и y:

x = Dx / D = -6 / -7 = 6 / 7
y = Dy / D = -23 / -7 = 23 / 7

б) Матричный метод:

Матрица коэффициентов A:

| 2 1 |
| 3 -2 |

Вектор-столбец свободных членов B:

| 5 |
| -4 |

Находим обратную матрицу A^-1:

A^-1 = 1 / (-7) * | -2 -1 |
| -3 2 |

A^-1 = | 2/7 1/7 |
| 3/7 -2/7 |

Тогда решение системы: X = A^-1 * B

| x | | 2/7 1/7 | | 5 |
| y | = | 3/7 -2/7 | * | -4 |

| x | | 2/7 5 + 1/7 (-4) | | 6/7 |
| y | = | 3/7 5 - 2/7 (-4) | = | 23/7 |

в) Метод Гаусса:

Приведем систему к ступенчатому виду:

1) 2x + y = 5
2) 3x - 2y = -4

Умножим первое уравнение на 3 и вычтем из второго:

3(2x + y) - (3x - 2y) = 15 + (-4)
6x + 3y - 3x + 2y = 11
3x + 5y = 11

Теперь выразим x из первого уравнения: x = (5 - y) / 2

Подставляем x во второе уравнение: 3((5 - y) / 2) - 2y = -4
15/2 - 3y/2 - 2y = -4
15 - 3y - 4y = -8
15 - 7y = -8
-7y = -23
y = 23 / 7

Подставляем y обратно в первое уравнение: x = (5 - 23 / 7) / 2
x = (35/7 - 23/7) / 2
x = 12 / 7

Таким образом, система уравнений совместна и имеет решение x = 6/7, y = 23/7.