В трапеции abcd(bc||ad) bc=4 ad=6,o-точка пересения диагональ, M-середина BC,K-середина AD,F-точка пересечения прямых AB F-точка пересечения AB и CD.Найдите такое число x,если оно существует, что: AO=x*OC;BO=x*AC;FM=x*FK;FO=x*FM.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала найдем координаты точек A, B, C, D, M, K, F и O.

Так как BC параллельна AD, то углы ABC и ADC смежные и равны. Значит, треугольники ABC и ADC подобны с коэффициентом 4/6 = 2/3.

Пусть точка A имеет координаты (0, 0). Тогда точки B, C и D будут иметь координаты (4, 0), (12, 0) и (6, 8) соответственно.

Середина BC — точка M — имеет координаты ((4+12)/2, 0) = (8, 0). Середина AD — точка K — имеет координаты ((0+6)/2, (0+8)/2) = (3, 4).

Теперь найдем F — точку пересечения AB и CD. Уравнение прямой AB имеет вид y = (4/4)x = x, а прямой CD: y = -(4/6)x + 8. Решая систему уравнений, получаем x = 4, y = 4. То есть F имеет координаты (4, 4).

Точку O можно найти как точку пересечения диагоналей трапеции. Уравнение прямой AC: y = (8/6)x = 4x/3, а прямой BD: y = -x + 4. Решая систему уравнений, получаем x = 12/7, y = 16/7. То есть O имеет координаты (12/7, 16/7).

Теперь подставим найденные координаты точек в равенства и найдем число x:

AO = sqrt((12/7)^2 + (16/7)^2) = sqrt(192)/7
OC = sqrt(8^2 + 16^2) = sqrt(320)
BO = sqrt((4)^2 + (12/7)^2) = sqrt(208)/7
AC = sqrt(8^2 + 6^2) = 10
FM = sqrt((4-3)^2 + (4-4)^2) = 1
FK = sqrt((3)^2 + (4)^2) = 5
FO = sqrt((12/7 - 4)^2 + (16/7 - 4)^2) = sqrt(67)/7
FM = x*FK => 1 = 5x => x = 1/5

Таким образом, x = 1/5.