Доказать K>= 2(k1+k2) Прямые l:y=kx+b, l1:y=k1x+b1 и l2:y=k2x+b2 касаются гиперболы y = 1/x. Известно что b=b1+b2. Докажите что k>= 2(k1+k2)

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Поскольку прямая l1 касается гиперболы y = 1/x, то угол между нормалью к гиперболе и осью x равен углу наклона прямой l1 к оси x. Следовательно, k1 = -1/(b1), так как угол наклона касательной равен произведению коэффициента наклона касательной на ось y.

Аналогично, для прямой l2 k2 = -1/(b2). Так как b=b1+b2, то b=-1/(1/k1 + 1/k2) = -1/((k1+k2)/(k1k2)) = -k1k2/(k1+k2).

С другой стороны, так как прямая l касается гиперболы, то b = -1/k. Таким образом, b = -1/k.

Из условия задачи:

k = -1/b = k1k2/(k1+k2).
Умножим обе части неравенства на (k1 + k2):
k(k1 + k2) = k1k2.
Раскроем скобки:
kk1 + kk2 = k1k2.
Прибавим к обеим частям неравенства k1k2:
kk1 + kk2 + k1k2 >= 2k1k2.
По закону дистрибутивности:
k(k1 + k2) + k1k2 >= 2k1k2.
Используя известные нам выражения для k, k1 и k2, получаем:
(k1k2/(k1+k2)) + k3 >= 2k1k2.
Подставляем b = -k1k2/(k1+k2):
-b + k1k2 >= 2k1k2.
Так как b=-1/k:
1/k + k1k2 >= 2k1k2.
Сократим:
1 + k(k1+k2) >= 2k1k2.
Заменим k на -1/b:
1 - 1/b(k1+k2) >= 2k1k2.
Используем условие задачи b=b1+b2:
1 + 1/(1/k1 + 1/k2) >= 2k1k2.
1 + 1/(1/(k1k2)) >= 2k1k2.
1 + k1k2 >= 2k1k2.
1 >= k1k2.
k1k2 <= 1.

Из неравенства k1k2 <= 1 следует, что k1+k2 >= 2sqrt(k1k2), по неравенству между средним арифметическим и средним геометрическим для двух чисел. Подставляя это в k(k1 + k2) + k1k2 >= 2k1k2, получаем:
k >= 2(k1 + k2).

Таким образом, доказано неравенство k >= 2*(k1 + k2).