6) Каждый из 4-х приятелей выучил ровно 5 вопросов из 20 заданных к зачету. На зачете они отвечали в разных аудиториях и получали вопросы независимо друг от друга. Найдите вероятность того, что никому не достался вопрос, который он выучил.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Всего вариантов распределения вопросов между друзьями равно 20!/(5!)^4, так как каждый из друзей выучил 5 вопросов из 20 и вопросы не пересекаются.

Вероятность того, что никому не достанется вопрос, который он выучил будет обратной вероятностью к тому, что хотя бы одному из друзей достанется хотя бы один вопрос, который он выучил.

Используем формулу включений-исключений:

P(хотя бы один из друзей получит свой вопрос) = 1 - P(ни один из друзей не получит свой вопрос)

P(ни один из друзей не получит свой вопрос) = число вариантов, когда каждый из друзей получит не тот вопрос, который он выучил / общее число вариантов

Для каждого друга есть 15 вопросов, которые он не выучил. Таким образом, для каждого друга есть 15 вариантов получить любой вопрос из 15 их общего числа.

Число вариантов, когда каждый из друзей получит не тот вопрос, который он выучил = 15^4

P(ни один из друзей не получит свой вопрос) = 15^4 / (20! / (5!)^4)

P(хотя бы один из друзей получит свой вопрос) = 1 - (15^4 / (20! / (5!)^4))

Итак, вероятность того, что никому не достанется вопрос, который он выучил:

P(никому не достанется вопрос) = 1 - (15^4 / (20! / (5!)^4 ))

Подставляя числаные значения и вычисляя результат с помощью калькулятора, найдём вероятность.