Докажите утверждение про делимость Докажите что для любого натурального числа n > 7 2^(n-1) > n(n+1)
Спасибо, очень надо...

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Докажем данное утверждение по индукции.

База индукции:
При n = 8, получаем 2^(8-1) = 64 и 8(8+1) = 72, 64 < 72, то есть неравенство не выполняется.

Предположение индукции:
Пусть для некоторого натурального числа k > 7 выполнено неравенство 2^(k-1) > k(k+1).

Шаг индукции:
Докажем, что из предположения индукции следует выполнение неравенства для k+1. Умножим обе части неравенства для k на 2:
2*2^(k-1) > 2k(k+1)
2^k > 2k(k+1)

Далее рассмотрим левую часть неравенства для k+1:
2^k * 2 = 2^(k+1)

И правую часть неравенства для k+1:
2k(k+1) < k(k+1)(k+2) = (k+1)(k+2) + k - 1

По предположению индукции 2^k > 2k(k+1), следовательно, 2^k * 2 = 2^(k+1) > 2k(k+1) и также k(k+1)(k+2) > 2k(k+1), тогда
2^(k+1) > k(k+1)(k+2)

Таким образом, доказано, что при n > 7 для любого натурального числа n выполняется неравенство 2^(n-1) > n(n+1).