Решите задачу, желательно с объяснением. Выделить главную часть функции
f(x) = 2sin(x²+ √x) • arctg(x³+3x²+3x)
при х-> 0

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для нахождения главной части функции f(x) при x -> 0, нужно разложить функцию в ряд Тейлора в окрестности точки x=0 и оставить только главный член.

Последовательно найдем разложения функций sin(x) и arctg(x) в ряд Тейлора:

Разложение sin(x) в окрестности точки x=0:
sin(x) = x - x^3/3! + x^5/5! - ...

Разложение arctg(x) в окрестности точки x=0:
arctg(x) = x - x^3/3 + x^5/5 - ...

Теперь подставим эти разложения в исходную функцию f(x):

f(x) = 2(x^2+sqrt(x)) (x^3+3x^2+3x) = 2(x^2+sqrt(x)) * (x^3+3x^2+3x)

Произведем умножение и вынесем x^2 из всех членов:

f(x) = 2x^5 + 6x^4 + 6x^3 + 2x^(3/2) + 6x^(5/2) + 6x^2

Теперь при x -> 0 главный член f(x), который оставим, будет равен 2x^5 = 0, так как в этом случае все остальные члены будут стремиться к нулю быстрее.

Итак, главная часть функции f(x) = 2x^5 при x -> 0.