В правильном четырёхугольной пирамиде высота ровна h и образует с апофемой угол а. Найдите полную поверхность пирамиды

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Сначала найдем боковую площадь пирамиды. Так как у нас правильная четырёхугольная пирамида, боковые грани являются равнобедренными треугольниками.

Рассмотрим одну из боковых граней пирамиды. Она является равнобедренным треугольником со сторонами апофемой r, высотой h и боковой стороной s (равной стороне основания четырёхугольника).

Так как у нас прямосторонний треугольник (высота, апофема и сторона пирамиды образуют прямой угол), применяем теорему Пифагора: s^2 = r^2 + h^2.

Так как треугольник равнобедренный, угол между ребром и плоскостью основания составляет 90 градусов, поэтому у нас есть прямоугольный треугольник.

Теперь найдем боковую площадь одной грани: Sбок = (r * s) / 2.

У нас 4 боковые грани, значит суммарная боковая площадь пирамиды: Sбок = 4 (r s) / 2 = 2 r s.

Теперь найдем площадь основания пирамиды, это просто квадрат со стороной s: Sосн = s^2.

Таким образом, общая площадь поверхности правильной четырёхугольной пирамиды равна: S = Sбок + Sосн = 2 r s + s^2.