Найдите производную функции X^3/4x-7

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для нахождения производной данной функции ( \frac{X^3}{4X-7} ) необходимо воспользоваться правилом дифференцирования частного, которое гласит: если ( u = \frac{f(x)}{g(x)} ), то ( u' = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{(g(x))^2} ).

Итак, функция ( \frac{X^3}{4X-7} ) может быть представлена как ( u = X^3(4X-7)^{-1} ).

Производная этой функции равна:

[ u' = \frac{d}{dx} [X^3(4X-7)^{-1}] = 3X^2 \cdot (4X-7)^{-1} - X^3 \cdot \frac{d}{dx} (4X-7)^{-1} ]

Чтобы найти производную ( \frac{d}{dx} (4X-7)^{-1} ), можно воспользоваться правилом дифференцирования степенной функции: если ( f(x) = (g(x))^{-1} ), то ( f'(x) = -g'(x) \cdot (g(x))^{-2} ).

Продифференцируем ( (4X-7)^{-1} ):

[ \frac{d}{dx} (4X-7)^{-1} = -\frac{d}{dx} (4X-7)^{-1} = -(-4) \cdot (4X-7)^{-2} = \frac{4}{(4X-7)^2} ]

Теперь можем подставить это значение в исходное выражение для производной:

[ u' = 3X^2 \cdot (4X-7)^{-1} - X^3 \cdot \frac{4}{(4X-7)^2} = \frac{3X^2}{4X-7} - \frac{4X^3}{(4X-7)^2} ]

Итак, получаем, что производная функции ( \frac{X^3}{4X-7} ) равна ( \frac{3X^2}{4X-7} - \frac{4X^3}{(4X-7)^2} ).