Докажите, что идеал x ^ 3 + 2x + 2 максимальный идеал в кольца F3 [x]. Докажите, что идеал x ^ 3 + 2x + 2 максимальный идеал в кольца F3 [x].

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала, рассмотрим кольцо F3[x], которое состоит из многочленов с коэффициентами из поля F3 = {0, 1, 2}.

Рассмотрим факторкольцо F3[x] / (x^3 + 2x + 2). По утверждению о факторкольце, идеал (x^3 + 2x + 2) является максимальным тогда и только тогда, когда факторкольцо F3[x] / (x^3 + 2x + 2) является полем.

Докажем, что F3[x] / (x^3 + 2x + 2) является полем. Поскольку многочлен x^3 + 2x + 2 неприводим над F3 (нет корней в поле F3), то идеал (x^3 + 2x + 2) является простым, а значит, факторкольцо F3[x] / (x^3 + 2x + 2) является полем. Следовательно, идеал (x^3 + 2x + 2) является максимальным идеалом в кольце F3[x].