Докажите, что 1+ 2^77+3^77+...+1996^77 делится на 1997.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для доказательства этого утверждения воспользуемся тождеством для суммы степеней арифметической прогрессии:

1 + x + x^2 + ... + x^n = (x^(n+1) - 1) / (x - 1)

Заметим, что число 1997 является простым числом. Тогда по малой теореме Ферма:

a^(p-1) ≡ 1 (mod p)

где p - простое число, а a не кратно p.

Таким образом, в нашем случае для x = 2, 3, ..., 1996, получаем:

1 + 2^77 + 3^77 + ... + 1996^77 ≡ (2^78 - 1)/(2 - 1) + (3^78 - 1)/(3 - 1) + ... + (1996^78 - 1)/(1996 - 1) ≡ 0 (mod 1997)

Таким образом, сумма 1 + 2^77 + 3^77 + ... + 1996^77 делится на 1997.