Сечения. Объемы. Треугольная пирамида Объем треугольной пирамиды SABC равен 186–√, AB⊥AS, AC⊥AS. Найдите угол между прямыми AB и AC, если AB=9, AC=42–√, AS=6.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

По условию известно, что объем треугольной пирамиды SABC равен 186–√. Обозначим площадь основания пирамиды как S, тогда:

V = (1/3) S h,

где h - высота пирамиды. Так как V = 186–√ и h = AS = 6, то:

186–√ = (1/3) S 6,

S = 31–√.

Так как AB⊥AS и AC⊥AS, то треугольник ABC прямоугольный. Поэтому площадь треугольника ABC равна:

S = (1/2) AB AC,

S = (1/2) 9 (42–√),

S = 189–4√.

Так как S = 31–√, то:

189–4√ = 31–√,

158 = 3√,

√ = 158/3,

√ = 2√(14).

Теперь найдем косинус угла между AB и AC:

cosα = (AB² + AC² - BC²) / (2 AB AC),

где BC - высота треугольника ABC, кроме сторон AB и AC. Так как треугольник прямоугольный, то:

BC = √(AB² + AC²) = √(9² + (42–√)²) = √(81 + 1764 - 84√ + 14) = √(1858 - 84√).

Теперь можем найти косинус угла α:

cosα = (9² + (42–√)² - (1858 - 84√)) / (2 9 (42–√)) = (81 + 1764 - 84√ + 2 - 1858 + 84√) / (2 9 (42–√)) = 29 / 2 / 9 / 14 = 29/27.

Угол α вычисляется как arccos(29/27)≈24.382°.

Ответ: Угол между прямыми AB и AC равен примерно 24.382°.