Найти площадь плоской фигуры ограниченный линиями. y=2x^2-6x+1 y=-x^2+x-1

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для нахождения площади фигуры, ограниченной заданными линиями, необходимо найти точки пересечения этих линий.

Для этого приравняем функции y=2x^2-6x+1 и y=-x^2+x-1 друг другу:

2x^2 - 6x + 1 = -x^2 + x - 1

3x^2 - 5x + 2 = 0

Теперь найдем корни этого уравнения с помощью дискриминанта:

D = (-5)^2 - 432 = 25 - 24 = 1

x1,2 = (5 ± √1) / (2*3) = (5 ± 1) / 6

x1 = 6/6 = 1
x2 = 4/6 = 2/3

Теперь подставим найденные значения x в уравнения y=2x^2-6x+1 и y=-x^2+x-1, чтобы найти соответствующие значения y:

y1 = 21^2 - 61 + 1 = 2 - 6 + 1 = -3
y2 = 2(2/3)^2 - 6(2/3) + 1 = 2*4/9 - 12/3 + 1 = 8/9 - 4 + 1 = -19/9

Итак, точки пересечения линий: (1, -3) и (2/3, -19/9).

Теперь найдем площадь фигуры, ограниченной этими линиями. Ее можно найти как площадь между двумя криволинейными графиками y=2x^2-6x+1 и y=-x^2+x-1 на интервале [2/3, 1]:

S = ∫[2/3, 1] (2x^2 - 6x + 1) - (-x^2 + x - 1) dx

S = ∫[2/3, 1] 3x^2 - 7x + 2 dx

S = [x^3 - 7/2 x^2 + 2x] [1, 2/3]

S = (1^3 - 7/21^2 + 21) - (2/3)^3 - 7/2(2/3)^2 + 2(2/3)

S = (1 - 7/2 + 2) - (8/27 - 28/9 + 4/3)

S = 6 - 9 + 4 - 8/27 + 56/9 - 4/3

S = 8/27 + 56/9 - 7

S = (24 + 168 - 189) / 27

S = 3/27 = 1/9

Ответ: Площадь фигуры, ограниченной линиями y=2x^2-6x+1 и y=-x^2+x-1, равна 1/9.