Даны координаты вершин треугольника MPT:M(-4;3),P(2;7),T(8;-2).Докажите,что данный треугольник прямоугольный,и найдите
Радиус описанной около него окружности.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для доказательства того, что треугольник MPT прямоугольный, достаточно проверить, что один из углов треугольника равен 90 градусов. Для этого можем воспользоваться свойством перпендикулярности двух прямых, а именно: две прямые перпендикулярны, если и только если их коэффициенты наклона произведения равны -1.

Вычислим коэффициенты наклона для всех сторон треугольника:

сторона MP: коэффициент наклона = (7-3)/(2+4) = 4/6 = 2/3сторона PT: коэффициент наклона = (-2-7)/(8-2) = -9/6 = -3/2сторона MT: коэффициент наклона = (-2-3)/(8+4) = -5/12

Таким образом, сторона MP и сторона PT перпендикулярны, а значит угол M равен 90 градусов. Следовательно, треугольник MPT прямоугольный.

Для нахождения радиуса описанной окружности воспользуемся формулой:

R = abc / 4S,

где a, b, c - стороны треугольника, а S - его площадь.

Вычислим длины сторон треугольника:

a = MT = √((8+4)^2 + (-2-3)^2) = √(12^2 + 5^2) = √(144 + 25) = √169 = 13,

b = MP = √((2+4)^2 + (7-3)^2) = √(6^2 + 4^2) = √(36 + 16) = √52,

c = PT = √((8-2)^2 + (-2-7)^2) = √(6^2 + 9^2) = √(36 + 81) = √117.

Найдем площадь треугольника по формуле Герона:

p = (a + b + c) / 2 = (13 + √52 + √117) / 2 ≈ 10.35,

S = √(p (p-a) (p-b) (p-c)) = √(10.35 (10.35-13) (10.35-√52) (10.35-√117)) ≈ 31.3.

Теперь найдем радиус описанной окружности:

R = abc / 4S = 13 √52 √117 / (4 31.3) = 13 6.87 * 10.82 / 125.2 ≈ 7.06.

Итак, радиус описанной окружности треугольника MPT равен приблизительно 7.06.