Свойство чисел (пусть будет неотрицательных) Даны две пары чисел, сумма чисел одной пары (назовем ее пара 1) равна сумме чисел другой пары (назовем ее пара 2), разность между числами пары 1 меньше чем между числами пары 2. Является ли верным утверждение: произведение чисел пары 1 больше чем произведение чисел пары 2? Если да, то как это доказывается?

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Да, утверждение верно.

Пусть числа пары 1 обозначаются как a и b, а числа пары 2 обозначаются как c и d. Запишем условие задачи:

a + b = c + d

|a - b| < |c - d|

Так как сумма чисел пары 1 равна сумме чисел пары 2, то получаем:

a - c = d - b

Так как разность между числами пары 1 меньше, чем разность между числами пары 2, то:

a - b < c - d

Теперь рассмотрим произведения чисел пар:

Произведение чисел пары 1: ab
Произведение чисел пары 2: cd

Так как a + b = c + d и a - b < c - d, то можно выразить a и b через c и d:

a = c + (d - b)
b = d - (c - a)

Теперь подставим выражения для a и b в произведение чисел пары 1:

ab = (c + (d - b))(d - (c - a))

Раскроем скобки и преобразуем:

ab = cd + c(d - b) + (d - b)(a - c) + (d - b)*(c - a)

Так как a + b = c + d и a - b < c - d, то (a - c)*(b - d) < 0

Следовательно, ab > cd, что и доказывает утверждение.