Нужна помощь с задачей Показать, что площадь любого параллелограмма с вершинами в конца
сопряженных диаметров эллипса ( x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1
имеет одно и то же значение, равное 2ab

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала обозначим вершины параллелограмма как A, B, C и D, где A и C – это концы одного диаметра эллипса, а B и D – концы другого диаметра.

Для начала найдем координаты вершин A, B, C и D. Пусть координаты вершины A = (acos(t), bsin(t)), где t – угол между осью X и начальной точкой диаметра. Тогда координаты вершины C будут равны (-acos(t), -bsin(t)), а координаты вершин B и D равны (-asin(t), bcos(t)) и (asin(t), -bcos(t)) соответственно.

Далее, найдем расстояние между вершинами A и B (или C и D), т.е. диагонали параллелограмма. Это расстояние равно sqrt((2a)^2 + (2b)^2) = 2*sqrt(a^2 + b^2).

Из формулы для площади параллелограмма (S = |AC||BD| sin(угол между ними)) получаем, что S = 2sqrt(a^2 + b^2) 2sqrt(a^2 + b^2) sin(t), где угол между диагоналями равен 90 градусов (так как диагонали – это сопряженные диаметры эллипса).

Из данной формулы видно, что S = 4(a^2 + b^2) sin(t). Но так как sin(90 градусов) = 1, то S = 4*(a^2 + b^2).

И, наконец, так как a^2 + b^2 = 1 (по уравнению эллипса), то площадь параллелограмма равна 4, что равно 2ab.

Таким образом, площадь любого параллелограмма с вершинами в концах сопряженных диаметров эллипса равно 2ab.