Найдите: а) промежутки монотонности функции б) точки экстремумов функции в) экстремумы функции f(x)=x^3 -5x^2+3x+7

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

а) Для нахождения промежутков монотонности функции нужно найти производную функции и определить знак этой производной на каждом интервале.

f'(x) = 3x^2 - 10x + 3

Теперь найдем корни уравнения f'(x) = 0:

3x^2 - 10x + 3 = 0
D = 100 - 36 = 64
x1 = (10 + 8) / 6 = 3
x2 = (10 - 8) / 6 = 1/3

Значения производной меняют знак при x < 1/3, 1/3 < x < 3, x > 3. Таким образом, функция возрастает на промежутках (1/3, 3) и (3, +∞), и убывает на промежутке (-∞, 1/3).

б) Точки экстремумов функции можно найти, приравняв производную к нулю и найдя соответствующие значения x.

f'(x) = 3x^2 - 10x + 3 = 0
x = (10 ±√(100-433)) / (2*3)
x1 = (10 + 8) / 6 = 3
x2 = (10 - 8) / 6 = 1/3

Исследуем значения второй производной f''(x):
f''(x) = 6x - 10

f''(1/3) = 6(1/3) - 10 = -8/3 < 0, т.е. x = 1/3 - точка максимума
f''(3) = 63 - 10 = 8 > 0, т.е. x = 3 - точка минимума

в) Найдено 2 экстремума функции:
Максимум f(1/3) = (1/3)^3 - 5(1/3)^2 + 3(1/3) + 7 = -19/27 + 5/9 + 1 + 7 = 7.407
Минимум f(3) = 3^3 - 53^2 + 33 + 7 = 27 - 45 + 9 + 7 = -2