Найти наибольшее и наименьшее значения функции z = f(x,y) в области D, ограниченной заданными линиями. Z = 12xy – 4x²y – 3xy²,
D: x = 0, y = 0, 4x + 3y – 12 = 0.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для решения этой задачи нужно найти критические точки функции z = 12xy - 4x²y - 3xy² внутри области D и также вычислить значения функции на границах области.

Найдем частные производные функции z по x и y, и найдем их значения в критических точках:

∂z/∂x = 12y - 8xy - 3y² = 0
∂z/∂y = 12x - 4x² - 6xy = 0

Из первого уравнения получим выражение для x:
12y - 8xy - 3y² = 0
x = (12y - 3y²) / 8y = 3/2 - 3y/8

Подставим это значение x во второе уравнение:
12 (3/2 - 3y/8) - 4 (3/2 - 3y/8)² - 6y(3/2 - 3y/8) = 0

Решив это уравнение, найдем значения y и x.
y = 4/3, x = 1/2

Таким образом, критическая точка - (1/2, 4/3).

Найдем значения функции z на границах области D:На границе x = 0:
z(0, y) = 0На границе y = 0:
z(x, 0) = 0На границе 4x + 3y - 12 = 0:
Выразим y через x: y = (12 - 4x) / 3
Подставим это в функцию z и найдем максимум и минимум:
z(x, (12 - 4x) / 3) = 2x(6 - x)

Из полученного уравнения найдем значения x и затем найдем соответственно y:
x = 0, y = 4
x = 6, y = 0

Теперь найдем значения функции z в найденных точках:
z(1/2, 4/3) = 16/3z(0, 4) = 0z(6, 0) = 0

Таким образом, наибольшее значение функции z равно 16/3 при x = 1/2, y = 4/3, наименьшее значение равно 0.