Стереометрия, метод координат Основание прямой треугольной призмы ABCA1B1C1 – прямоугольный треугольник ABC с прямым углом при вершине A, а боковая грань AA1C1C – квадрат.
(a) Докажите, что прямые CB1 и AC1 перпендикулярны.
(b) Найдите расстояние между этими прямыми, если AC = 2, AB1 = 2√3. - через метод координат

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

(a) Пусть точка A имеет координаты (0, 0), точка B имеет координаты (a, 0), а точка C имеет координаты (0, b), где a и b - длины катетов прямоугольного треугольника ABC.

Так как грань AA1C1C - квадрат, то AC1 = CC1 и A1C1 || AB. Точка C1 имеет координаты (a, b).

Найдем уравнения прямых CB1 и AC1:
Уравнение прямой CB1, проходящей через точки C (0, b) и B1 (a, b) имеет вид y = -x + b.
Уравнение прямой AC1, проходящей через точки A (0, 0) и C1 (a, b) имеет вид y = (b/a)x.

Угловой коэффициент первой прямой равен -1, а угловой коэффициент второй прямой равен b/a. Так как произведение угловых коэффициентов равно -1, то прямые CB1 и AC1 перпендикулярны.

(b) Найдем выражения для уравнений прямых CB1 и AC1:
CB1: y = -x + b
AC1: y = (b/a)x

Расстояние между прямыми CB1 и AC1 равно модулю разности их свободных членов, поделенной на корень из суммы квадратов их коэффициентов при x:
d = |b - 0| / √((-1)^2 + 1^2) = b / √2.

Из условия задачи известно, что AC = 2, следовательно, b = 2. Таким образом, расстояние между прямыми CB1 и AC1 равно 2 / √2 = √2.