ЕГЭ, стереометрия, метод координат Основание пирамиды SABCD – квадрат ABCD. Боковое ребро SA перпендикулярно плоскости основания, а треугольник BSD равносторонний.
(a) Докажите, что высота пирамиды равна стороне основания.
(b) Найдите расстояние между прямыми SC и BD, если сторона основания
равна 2√3 - через метод координат

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

(a) Пусть сторона основания равна а. Обозначим точку S(x,y,z), где z - высота пирамиды. Так как боковое ребро SA перпендикулярно плоскости основания, то точка A(a,0,0).
Также из условия известно, что треугольник BSD равносторонний. Так как точка D(x,y,z) лежит в плоскости основания, то ее координата z равна 0. Таким образом, BD = a. Так как треугольник BSD равносторонний, то BS = SD = a.

Из равенства треугольников BSD и SAB получаем:
SA = BD = AB, то есть высота пирамиды равна стороне основания: z = a.

(b) Найдем координаты точек C и B. Так как ABCD - квадрат, то С симметрично точке B относительно точки D, аналогично B симметрично относительно С относительно D. Таким образом, С(-a, a, 0), B(a, -a, 0). Теперь найдем уравнения прямых SC и BD:
SC: (\frac{x+0}{-a-0} = \frac{y-a}{a-a} = \frac{z-0}{0-0}),
BD: (\frac{x-a}{a-a} = \frac{y-(-a)}{-a-(-a)} = \frac{z-0}{0-0}).

Решив систему уравнений, найдем расстояние между прямыми SC и BD:
(d = \frac{|-a - 0 \times 1 + 1 \times a|}{\sqrt{1^2 + 1^2 + 0^2}} = \frac{2a}{\sqrt{2}} = a\sqrt{2}).

Итак, расстояние между прямыми SC и BD равно (a\sqrt{2}), где a - сторона основания.