Стереометрия, ЕГЭ, метод координат Основание пирамиды DABC – прямоугольный треугольник ABC с гипотенузой
AB. Все боковые ребра образуют равные углы плоскостью основания.
(a) Докажите, что высота пирамиды проходит через середину отрезка AB.
(b) Известно, что AB = 18, AC = 6. Найдите расстояние между прямыми DM и
CH, где DM – высота пирамиды DABC, CH – высота треугольника ABC. - через метод координат

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

(a) Пусть M - середина отрезка AB. Так как DABC - прямоугольный треугольник, то высота пирамиды, проходящая через вершину D, будет перпендикулярна к гипотенузе AB. Поскольку середина отрезка AB лежит на линии AB и делит его пополам, то высота пирамиды проходит через середину отрезка AB.

(b) Для начала найдем координаты точек A, B, C и D. Поскольку AC = 6 и AB = 18, то координаты точек A и C будут (0,0) и (18,0) соответственно. Так как треугольник DABC прямоугольный, то точка D будет находиться на гипотенузе AB и ее координаты можно записать как (x,y), где x лежит на отрезке AC, а y на отрезке CB. Так как AC = 6, то CD = 6-x. Из подобия треугольников DAB и DCM, получаем x/18 = (6-x)/6, откуда x = 12. Тогда координаты точки D будут (12, 0).

Теперь найдем координаты точек M и H. Точка M - середина отрезка AB, поэтому ее координаты будут (9,0). Так как H - основание высоты треугольника ABC, то мы можем найти его координаты как середину отрезка AC, то есть (9/2,0).

Расстояние между прямыми DM и CH будет равно модулю разности координат y-координат точек D и H, то есть |0 - 0| = 0. Таким образом, расстояние между прямыми DM и CH равно 0.