Найти силу давления воды на вертикальную заслонку в форме эллипса с полуосями a и b, центр погружён в воду на глубину 2b Найти силу давления воды на вертикальную заслонку в форме эллипса с полуосями а и b, центр которой погружен в воду на глубину 2b.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для нахождения силы давления воды на вертикальную заслонку в форме эллипса воспользуемся принципом Паскаля.

Сначала определим глубину h точки действия силы давления. Так как центр эллипса погружен в воду на глубину 2b, аппаратура имеет глубину h = 2b + y, где y - расстояние от центра эллипса до точки действия силы давления.

Теперь рассмотрим вертикальную полосу воды шириной dy на глубине y, толщиной dx и длиной L (проекция эллипса на вертикальную плоскость). Сила давления на эту полосу будет равна dF = ρghdydx, где ρ - плотность воды, g - ускорение свободного падения, h - глубина.

Для верхней половины эллипса с полуосями a и b, уравнение эллипса имеет вид x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1. Тогда длина L верхней половины эллипса будет равна
L = 4a√(1 - x^2/a^2).

Таким образом, общая сила давления на верхнюю половину эллипса будет равна
F = ∫∫dF = ∫(2b√(1 - x^2/a^2) ∫(4aρgh/b dydx) = 8aρghb∫(∫√(1 - x^2/a^2) dy)dx.

Интегрируя по y, получаем
F = 8aρghb∫(b√(1 - x^2/a^2) dx.

Теперь интегрируем по x с учетом замены x = asinθ, dx = acosθdθ, получаем
F = 8a^2bρgh∫(sinθ*cos^2θdθ) = 8a^2bρgh∫(sinθ(1-sin^2θ)dθ) = 8a^2bρgh∫(sinθ - sin^3θ)dθ = 8a^2bρgh(-cosθ + 1/4cos^3θ) = 2a^2bρgh(4 - cos2θ + cos4θ).

Интегрируя по θ от 0 до π/2, получаем
F = 2a^2bρgh(4) = 8a^2bρgh.

Таким образом, сила давления воды на вертикальную заслонку в форме эллипса с полуосями a и b, центр которой погружен в воду на глубину 2b, равна 8a^2bρgh.