Через S(n) обозначим сумму цифр в десятичной записи натурального числа n. Через S(n) обозначим сумму цифр в десятичной записи натурального числа n. Например, S(12345)=15. Найди сумму всех натуральных чисел n, для которых выполняется равенство n⋅S(n)=576.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Давайте рассмотрим это уравнение более подробно.

Пусть n имеет k цифр. Тогда мы можем записать n как:
n = ak * 10^(k-1) + a(k-1) 10^(k-2) + ... + a_1 10^0

Где a_i - это i-я цифра числа n.

Тогда сумма цифр числа n равна:
S(n) = ak + a(k-1) + ... + a_1

Итак, уравнение nS(n) = 576 становится:
(a_k 10^(k-1) + a_(k-1) 10^(k-2) + ... + a_1 10^0) * (ak + a(k-1) + ... + a_1) = 576

Разложим это уравнение на множители:

(ak * 10^(k-1) + a(k-1) 10^(k-2) + ... + a_1 10^0) * (ak + a(k-1) + ... + a_1) = 576

a_k(10^k (ak + a(k-1) + ... + a1)) + a(k-1)(10^(k-1) (ak + a(k-1) + ... + a_1)) + ... + a_1(10^0 * (ak + a(k-1) + ... + a_1)) = 576

После данного разложения мы можем заметить, что каждое слагаемое вида a_i 10^(i-1) S(n) является кратным 10.

Таким образом, у нас есть два случая:

n кратно 10. В этом случае n = 10 m и уравнение становится 10m S(m) = 576.n не кратно 10. В этом случае сумма цифр n также не кратна 10 (так как n = a_1 10^0 + ... + a_k 10^(k-1) и a_1, ..., a_k не кратны 10), и уравнение не имеет решений.

Теперь найдем все натуральные числа n, для которых n*S(n) = 576.

Первый случай: n = 10m
Уравнение становится 10m * S(m) = 576.
Если разложить 576 на множители, то возможные комбинации (10m, S(m)) могут быть:
(1, 576), (2, 288), (3, 192), (4, 144), (6, 96), (8, 72), (9, 64), (12, 48), (16, 36), (18, 32), (24, 24), (32, 18), (36, 16), (48, 12), (64, 9), (72, 8), (96, 6), (144, 4), (192, 3), (288, 2), (576, 1)

Второй случай: n не кратно 10
В этом случае у нас нет решений.

Таким образом, сумма всех натуральных чисел n, для которых выполняется равенство n*S(n) = 576, равна 1 + 2 + 3 + 4 + 6 + 8 + 9 + 12 + 16 + 18 + 24 + 32 + 36 + 48 + 64 + 72 + 96 + 144 + 192 + 288 + 576 = 1650.