Существует ли всюду плотное множество на прямой такое, что расстояние между любыми двумя его точками иррационально? Множество называется всюду плотным, если в каждом открытом интервале есть точки этого множества. Например, Q (рациональные числа).

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Да, таким множеством является множество всех квадратных корней из натуральных чисел. Действительно, этот набор точек всюду плотен на числовой прямой, так как на любом интервале можно найти хотя бы одну точку этого множества. При этом расстояние между любыми двумя точками этого множества будет иррациональным, так как разность различных квадратных корней будет всегда иррациональной (если только это не одинаковые квадратные корни).