Известно, что a + b + c = 2022, 1/a + 1/b + 1/c = 1/2022. Найти 1/(a^2023) + 1/(b^2023) + 1/(c^2023). Задача из Вьетнамской математической олимпиады.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Обозначим сумму 1/a, 1/b, 1/c как x. Тогда по условию задачи имеем систему уравнений:

a + b + c = 2022 (1)

1/a + 1/b + 1/c = 1/2022 = x (2)

Посчитаем (a + b + c)(1/a + 1/b + 1/c) = 3 + ab/a + ac/a + bc/b + ab/b + ac/c + bc/c =

= 3 + b + c + a = 2022x.

Заметим, что b + c + a = 2022x - 3. Тогда подставляем a + b + c = 2022 и получаем, что:

2022 = 2022x - 3.

Отсюда x = 1.

Значит 1/a + 1/b + 1/c = 1, а следовательно a = b = c = 1.

Подставляем значения a, b, c в то, что требуется найти и получаем:

1/(1^2023) + 1/(1^2023) + 1/(1^2023) = 1 + 1 + 1 = 3.

Ответ: 3.