Математика задачки которые я не понимаю 1) Однажды на перемене Вася выписал на листке десять натуральных чисел. Все написанные числа попарно различны. Известно, что из этих десяти чисел можно выбрать три числа, делящихся на 5. Также известно, что из написанных десяти чисел можно выбрать четыре числа, делящихся на 4. Может ли сумма всех написанных на доске чисел быть меньше 75?
2) На доске девять раз (друг под другом) написали некоторое натуральное число N . Петя к каждому из 9 чисел приписал слева или справа одну ненулевую цифру; при этом все приписанные цифры различны. Какое наибольшее количество простых чисел могло оказаться среди 9 полученных чисел?
3) Дан квадратный трёхчлен P(x) , не обязательно с целыми коэффициентами. Известно, что при некоторых целых a и b разность P(a) - P(b) является квадратом натурального числа. Докажите, что существует более миллиона таких пар целых чисел (c,d) , что разность P(c) - P(d) также является квадратом натурального числа.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

1) Давайте обозначим количество чисел, делящихся на 5, как a, количество чисел, делящихся на 4, как b, количество чисел, которые делятся и на 4, и на 5, как c. Тогда у нас имеется система уравнений:
a + c ≥ 3
b + c ≥ 4
a + b + c = 10

Из первого уравнения мы можем выразить c, как c ≥ 3 - a.
Подставляем это выражение во второе уравнение, получаем:
b + (3 - a) ≥ 4 => b ≥ a + 1

Таким образом, наименьшее значение b равно a + 1. Поскольку все числа попарно различны, максимальное значение a равно 2 (иначе c станет больше трех).

Теперь разберемся с суммой чисел. Максимальной суммой чисел, делящихся на 5, является 5 + 10 + 15 = 30. Максимальной суммой чисел, делящихся на 4, является 4 + 8 + 12 + 16 = 40. Сумма всех написанных чисел равна не меньше, чем 30 + 40 = 70, что больше 75. Следовательно, сумма всех чисел не может быть меньше 75.

2) Каждое из 9 чисел, которые были получены приписыванием цифр к исходному числу N, является перестановкой цифр из N. Поскольку приписываются ненулевые цифры и все они различные, то все 9 чисел состоят из одинакового набора цифр, что исключает простые числа больше 23. Таким образом, максимальное количество простых чисел среди 9 чисел равно 9-4 = 5.

3) Пусть q = P(a) - P(b), где q - квадрат натурального числа. Тогда разность P(c) - P(d) также является квадратом натурального числа. Рассмотрим разность P(a) - P(b) и P(c) - P(d). Обозначим их как q1 и q2 соответственно.

Тогда q1 - q2 = P(a) - P(b) - P(c) + P(d) = (P(a) - P(c)) - (P(b) - P(d)), что является разностью двух квадратов натуральных чисел. Таким образом, если c и d удовлетворяют условию, то также удовлетворяют c+d и c-d.

Исходя из этого, можно подобрать более миллиона пар целых чисел c и d, удовлетворяющих условию задачи.