Домашняя работа
«Сумма углов треугольника Домашняя работа
«Сумма углов треугольника. Соотношение между сторонами и углами треугольника»
1. Внешний угол при вершине равнобедренного треугольника равен 150. Найти углы треугольника.
2. В треугольнике МРТ угол М в 3 раза меньше угла Р, а угол Т на 30 меньше угла Р.
а) Найти углы треугольника МРТ.
б) Сравнить стороны МТ и МР.
3. В треугольнике АВС точка D лежит на стороне АВ, причём - острый. Докажите, что DС < АС.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Поскольку внешний угол при вершине равнобедренного треугольника равен половине суммы основных углов, получаем:
150 = 180 - 2x,
где x - угол основания равнобедренного треугольника.
Отсюда находим x:
2x = 180 - 150,
2x = 30,
x = 15.
Теперь можем найти углы треугольника:
15, 15, 150.

а) Пусть угол Р = х. Тогда угол М = х/3, угол Т = х - 30.
Сумма углов треугольника равна 180 градусов:
х + х/3 + х - 30 = 180,
умножаем все на 3 для избавления от дробей:
3х + х + 3х - 90 = 540,
7х = 630,
х = 90.
Таким образом, углы треугольника МРТ равны:
М = 90/3 = 30,
Р = 90,
Т = 90 - 30 = 60.

б) Теперь сравним стороны МТ и МР. Из углов треугольника МРТ следует, что МТ = МР, так как равные углы против равных сторон.

Для доказательства неравенства DC < AC воспользуемся теоремой о неравенстве в треугольнике.
Пусть BD = x, AD = y, CD = z.
Используем теорему косинусов для треугольника BCD:
BC^2 = BD^2 + CD^2 - 2BDCDcos(∠BDC).
Аналогично для треугольника ABC:
AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2ABBCcos(∠ABC).
Так как треугольник BCD вложен в треугольник ABC, то BC = AB.
Подставляем BC = AB в формулы:
AC^2 = AB^2 + AB^2 - 2ABBCcos(∠ABC),
AC^2 = 2AB^2 - 2AB^2*cos(∠ABC),
AC^2 = 2AB^2(1 - cos(∠ABC)).
Из тригонометрической формулы косинуса суммы следует, что cos(∠ABC) > cos(∠BDC).
Следовательно, AC^2 > 2AB^2(1 - cos(∠BDC)).
Таким образом, DC < AC.