Домашняя работ
«Сумма углов треугольника Домашняя работ
«Сумма углов треугольника. Соотношение между сторонами и углами треугольника
1. Внешний угол при вершине равнобедренного треугольника равен 150. Найти углы треугольника
2. В треугольнике МРТ угол М в 3 раза меньше угла Р, а угол Т на 30 меньше угла Р.
а) Найти углы треугольника МРТ.
б) Сравнить стороны МТ и МР
3. В треугольнике АВС точка D лежит на стороне АВ, причём - острый. Докажите, что DС < АС.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Поскольку внешний угол при вершине равнобедренного треугольника равен половине суммы основных углов, получаем
150 = 180 - 2x
где x - угол основания равнобедренного треугольника
Отсюда находим x
2x = 180 - 150
2x = 30
x = 15
Теперь можем найти углы треугольника
15, 15, 150.

а) Пусть угол Р = х. Тогда угол М = х/3, угол Т = х - 30
Сумма углов треугольника равна 180 градусов
х + х/3 + х - 30 = 180
умножаем все на 3 для избавления от дробей
3х + х + 3х - 90 = 540
7х = 630
х = 90
Таким образом, углы треугольника МРТ равны
М = 90/3 = 30
Р = 90
Т = 90 - 30 = 60.

б) Теперь сравним стороны МТ и МР. Из углов треугольника МРТ следует, что МТ = МР, так как равные углы против равных сторон.

Для доказательства неравенства DC < AC воспользуемся теоремой о неравенстве в треугольнике
Пусть BD = x, AD = y, CD = z
Используем теорему косинусов для треугольника BCD
BC^2 = BD^2 + CD^2 - 2BDCDcos(∠BDC)
Аналогично для треугольника ABC
AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2ABBCcos(∠ABC)
Так как треугольник BCD вложен в треугольник ABC, то BC = AB
Подставляем BC = AB в формулы
AC^2 = AB^2 + AB^2 - 2ABBCcos(∠ABC)
AC^2 = 2AB^2 - 2AB^2*cos(∠ABC)
AC^2 = 2AB^2(1 - cos(∠ABC))
Из тригонометрической формулы косинуса суммы следует, что cos(∠ABC) > cos(∠BDC)
Следовательно, AC^2 > 2AB^2(1 - cos(∠BDC))
Таким образом, DC < AC.