Аня взяла тетраэдр ABCD с ребром Корень2 и провела в нём прямую L. Аня взяла тетраэдр ABCD с ребром Корень2 и провела в нём прямую L , соединяющую середины противоположных рёбер AB и CD . Лёша нарисовал тетраэдр A1B1C1D1 , который получился поворотом тетраэдра ABCD относительно прямой L на 90∘ . Найдите объём фигуры, которая является пересечением тетраэдров ABCD и A1B1C1D1 . В качестве ответа введите натуральное число или несократимую дробь, например: 1/2.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Обозначим точки середин рёбер AB и CD как M и N соответственно. Так как прямая L соединяет середины рёбер AB и CD, то она проходит через точку O - середину отрезка MN.

Таким образом, основание тетраэдра A1B1C1D1 - это четырёхугольник MNON, который является параллелограммом.

Так как тетраэдр A1B1C1D1 получается поворотом на 90 градусов относительно прямой L, его высота равна расстоянию от точки O до плоскости ABCD. Так как точка O является серединой отрезка MN, который равен половине длины ребра тетраэдра ABCD, то высота тетраэдра A1B1C1D1 равна Корень2 /2.

Таким образом, объём пересечения тетраэдров ABCD и A1B1C1D1 равен объёму параллелепипеда, основанием которого является четырёхугольник MNON, высотой - Корень2 /2 и равен Sh = SКорень2 /2, где S - площадь четырёхугольника MNON.

Чтобы найти площадь четырёхугольника MNON, обозначим диагонали этого четырёхугольника как d1 и d2. Так как M и N - середины сторон параллелограмма MNON, то d1 = 2MN = 2(Корень2 /2) = Корень2 и d2 = 2MO = 2(1/2) = 1.

Площадь четырёхугольника MNON равна S = (1/2)d1d2 = (1/2)Корень2 1 = Корень2 /2.

Таким образом, объём фигуры, которая является пересечением тетраэдров ABCD и A1B1C1D1 равен Sh = (Корень2 /2)(Корень2 /2) = 2/4 = 1/2.

Ответ: 1/2.