Найти величину и направление наибольшего изменения функции u(x; y;z) = x^2 + y^2*z в точке M0(1;2; 3). Найти величину и направление наибольшего изменения функции u(x; y;z) = x^2 + y^2*z в точке M0 (1;2; 3).

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала найдем градиент функции u(x, y, z) в точке M0(1, 2, 3):

∇u = (∂u/∂x, ∂u/∂y, ∂u/∂z) = (2x, 2yz, y^2)

Подставим координаты точки M0:

∇u(1, 2, 3) = (2, 4, 4)

Таким образом, вектор градиента в точке M0 равен (2, 4, 4).

Для определения направления наибольшего изменения функции нужно найти нормированный вектор градиента:

||∇u|| = sqrt((2)^2 + (4)^2 + (4)^2) = sqrt(4 + 16 + 16) = sqrt(36) = 6

Теперь найдем единичный вектор градиента:

e = (1/6)(2, 4, 4) = (1/3, 2/3, 2/3)

Таким образом, направление наибольшего изменения функции u(x, y, z) в точке M0(1, 2, 3) задается единичным вектором e = (1/3, 2/3, 2/3).

Теперь найдем величину наибольшего изменения функции, которая равна величине градиента в этом направлении:

||∇u|| ||e|| = 6 1 = 6

Таким образом, величина наибольшего изменения функции u(x, y, z) в точке M0(1, 2, 3) равна 6.