Производная по направлению вектора Дана функция u(x; y;z) = In(xy + yz + xz) и точки М1 (-2; 3; 1), М2 (1; 1; 1). Вычислить:
a) производную этой функции в точке М1 по направлению вектора М1М2;
б) grad u (M1)

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

a) Для вычисления производной по направлению вектора М1М2 в точке М1 (-2; 3; 1) необходимо найти градиент функции u(x, y, z) в точке М1 и найти скалярное произведение градиента и нормированного вектора М1М2.

Градиент функции u(x, y, z) вычисляется как (du/dx, du/dy, du/dz), где du/dx, du/dy, du/dz - частные производные функции по соответствующим аргументам.

du/dx = d/dx ln(xy + yz + xz) = (y + z)/(xy + yz + xz)
du/dy = d/dy ln(xy + yz + xz) = (x + z)/(xy + yz + xz)
du/dz = d/dz ln(xy + yz + xz) = (x + y)/(xy + yz + xz)

Вычислим эти частные производные в точке М1 (-2; 3; 1):
du/dx = (3 + 1)/(-6 + 3 + (-2)1) = 4/(-5)
du/dy = (-2 + 1)/(-6 + 3 + (-2)1) = -1/(-5)
du/dz = (-2 + 3)/(-6 + 3 + (-2)*1) = 1/(-5)

Теперь найдем нормированный вектор М1М2:
М1М2 = (1 - (-2), 1 - 3, 1 - 1) = (3, -2, 0)
|М1М2| = √(3^2 + (-2)^2 + 0^2) = √13

Получим нормированный вектор М1М2: (3/√13, -2/√13, 0)

Теперь найдем производную по направлению вектора М1М2 в точке М1:
du/dl = grad u (M1) М1М2 = (4/(-5), -1/(-5), 1/(-5)) (3/√13, -2/√13, 0) = (12/(-5√13) + 2/(-5√13)) = 10/(-5√13) = -2/√13

Итак, производная функции u(x, y, z) по направлению вектора М1М2 в точке М1 (-2; 3; 1) равна -2/√13.

б) Градиент функции в точке М1 вычисляется как (du/dx, du/dy, du/dz) в точке М1 (-2; 3; 1), которые мы уже нашли ранее:
grad u (M1) = (4/(-5), -1/(-5), 1/(-5)) = (-4/5, 1/5, -1/5)