Комбинаторика. Математика. Задача Сколько можно составить трехсимвольных сочетаний из 33 букв русского алфавита, если
а) в каждой тройке буквы различны;
б) буквы не обязаны различаться;
в) никакие две одинаковые буквы не идут подряд;
г) первая и третья буквы – согласные, вторая – гласная;
д) ровно одна из трех букв – гласная?

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

а) Для каждой тройки букв, в которой буквы различны, можно выбрать три различные буквы из 33 букв алфавита. Таким образом, количество трехсимвольных сочетаний будет равно (C_{33}^3 = \frac{33!}{3! \cdot (33-3)!} = 5456).

б) Если буквы не обязаны различаться, то каждая из трех позиций может занимать любая из 33 букв, т.е. всего (33^3 = 35937) трехсимвольных сочетаний.

в) Для начала найдем количество трехсимвольных сочетаний из 33 букв, в которых две одинаковые буквы и одна различная. Это можно сделать следующим образом: выбираем две одинаковые буквы из 33, а затем одну различную из оставшихся 32. Таким образом, количество таких сочетаний будет равно (33 \cdot 32 = 1056).

Теперь найдем количество всех трехсимвольных сочетаний, в которых две буквы одинаковые и одна различная. Это можно сделать по формуле из пункта а) : (C_{33}^3 = 5456).

Итак, количество трехсимвольных сочетаний, в которых никакие две одинаковые буквы не идут подряд, будет равно разности этих двух чисел: (5456 - 1056 = 4400).

г) Первая и третья буквы – согласные, вторая – гласная. Сначала найдем количество гласных и согласных букв в русском алфавите. В русском алфавите 10 гласных и 23 согласных буквы.

Для данного условия выборки согласных букв для первой и третьей позиции можно сделать (C{23}^2 = 253) способами, а выбор гласной для второй позиции - (C{10}^1 =10) способами. Таким образом, количество трехсимвольных сочетаний, в которых первая и третья буквы - согласные, а вторая - гласная, будет равно (253 \cdot 10 = 2530).

д) Ровно одна из трех букв - гласная. В данном случае можно представить все трехбуквенные сочетания как сумму трех случаев: когда гласная находится на первой позиции, когда гласная находится на второй позиции и когда гласная находится на третьей позиции.

Для каждого из этих случаев можно использовать сочетания из предыдущего пункта, то есть (2530) вариантов. Таким образом, общее количество трехсимвольных сочетаний, в которых ровно одна из трех букв - гласная, будет равно (2530 \cdot 3 = 7590).