Вычислить площадь участка поверхности Вычислить площадь участка поверхности z^2 = x^2 + y^2 вырезанной цилиндром x^2 + y^2 = 2y (z >= 0)

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала найдем точки пересечения поверхностей z^2 = x^2 + y^2 и x^2 + y^2 = 2y:

Заметим, что x^2 + y^2 = 2y можно переписать в виде x^2 + (y - 1)^2 = 1, что является уравнением окружности радиуса 1 и центром в точке (0,1).

Далее найдем точки пересечения двух поверхностей. Подставим x^2 + y^2 = 2y в уравнение z^2 = x^2 + y^2:

z^2 = 2y

z = √(2y) = √(4 - x^2)

Теперь найдем точки пересечения окружности и гиперболоида. Подставим уравнение окружности в z = √(4 - x^2):

z = √(4 - x^2) = √(4 - (x^2 + (y - 1)^2)) = √(4 - 1) = √3

Таким образом, участок поверхности ограничен кривой y = x^2 и поверхностью z = √(2y), и границей z = √3.

Для вычисления площади участка поверхности необходимо найти поверхностный интеграл от функции f(x, y, z) = 1 по области, ограниченной кривой y = x^2, поверхностью z = √(2y) и плоскостью z = √3.

S = ∬(D) dS = ∫∫(D) √(1 + (∂z/∂x)^2 + (∂z/∂y)^2) dA

Где D - область на плоскости Oxy, ограниченная кривой y = x^2.

Подставим z = √(2y) в формулу для S:

S = ∫(0,1) ∫(0,x^2) √(1 + 1 + 4/x^2) dx dy

После вычислений получим значение площади участка поверхности.