Здравствуйте
Даны дифференциальные уравнения второго порядка. Найти общее решение этих уравнений. Нужно подробное решение и отве

F(x, y, y', y") = 0

1) x y" - y' = x^3 sin x

2) y" + 12 y' + 40 y =0

3) 10 y"- y' = 0

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

1) Для начала перепишем уравнение второго порядка в виде системы двух уравнений первого порядка, введя новую переменную z = y'.

Тогда система уравнений будет иметь вид
y' = z
z' = y'' = (x^3 sin x + y') / x.

Подставляем второе уравнение в первое
z = x^2 sin x + y'/x
z' = x^3 sin x / x + z / x = x^2 sin x + z / x.

Теперь проведем замену переменной: u = x^2, v = z
Тогда новая система будет иметь вид
v = u sin sqrt(u) + v' / sqrt(u)
v' = u sin sqrt(u) + v / sqrt(u).

Это уравнение типа ОДУ нижнего порядка, и мы можем решить его методом вариации произвольных постоянных.

2) Квадратное характеристическое уравнение для данного дифференциального уравнения: r^2 + 12r + 40 = 0
Решим его как квадратное уравнение
D = 12^2 - 4*40 = 144 - 160 = -16
r1,2 = (-12 ± √(-16)) / 2 = -6 ± 2i.

Общее решение системы дифференциального уравнения
y(x) = c1 e^(-6x) cos(2x) + c2 e^(-6x) sin(2x).

3) Квадратное характеристическое уравнение для данного дифференциального уравнения
10r^2 - 1 = 0
Решим его как квадратное уравнение
r1,2 = ±√(1/10) = ±(1/√10).

Тогда общее решение будет иметь вид
y = c1 e^(x/√10) + c2 e^(-x/√10).