Здравствуйте.
Даны дифференциальные уравнения второго порядка. Найти общее решение этих уравнений. Нужно подробное решение и ответ

F(x, y, y', y") = 0

1) x y" - y' = x^3 sin x

2) y" + 12 y' + 40 y =0

3) 10 y"- y' = 0

18 Апр 2022 в 19:41
236 +1
0
Ответы
1

1) Для начала перепишем уравнение второго порядка в виде системы двух уравнений первого порядка, введя новую переменную z = y'.

Тогда система уравнений будет иметь вид:
y' = z,
z' = y'' = (x^3 sin x + y') / x.

Подставляем второе уравнение в первое:
z = x^2 sin x + y'/x,
z' = x^3 sin x / x + z / x = x^2 sin x + z / x.

Теперь проведем замену переменной: u = x^2, v = z.
Тогда новая система будет иметь вид:
v = u sin sqrt(u) + v' / sqrt(u),
v' = u sin sqrt(u) + v / sqrt(u).

Это уравнение типа ОДУ нижнего порядка, и мы можем решить его методом вариации произвольных постоянных.

2) Квадратное характеристическое уравнение для данного дифференциального уравнения: r^2 + 12r + 40 = 0.
Решим его как квадратное уравнение:
D = 12^2 - 4*40 = 144 - 160 = -16,
r1,2 = (-12 ± √(-16)) / 2 = -6 ± 2i.

Общее решение системы дифференциального уравнения:
y(x) = c1 e^(-6x) cos(2x) + c2 e^(-6x) sin(2x).

3) Квадратное характеристическое уравнение для данного дифференциального уравнения:
10r^2 - 1 = 0.
Решим его как квадратное уравнение:
r1,2 = ±√(1/10) = ±(1/√10).

Тогда общее решение будет иметь вид:
y = c1 e^(x/√10) + c2 e^(-x/√10).

16 Апр в 18:46
Не можешь разобраться в этой теме?
Обратись за помощью к экспертам
Название заказа не должно быть пустым
Введите email
Бесплатные доработки
Гарантированные бесплатные доработки
Быстрое выполнение
Быстрое выполнение от 2 часов
Проверка работы
Проверка работы на плагиат
Интересные статьи из справочника
Поможем написать учебную работу
Название заказа не должно быть пустым
Введите email
Доверьте свою работу экспертам
Разместите заказ
Наша система отправит ваш заказ на оценку 92 548 авторам
Первые отклики появятся уже в течение 10 минут
Прямой эфир