1) Для начала перепишем уравнение второго порядка в виде системы двух уравнений первого порядка, введя новую переменную z = y'.
Тогда система уравнений будет иметь вид: y' = z, z' = y'' = (x^3 sin x + y') / x.
Подставляем второе уравнение в первое: z = x^2 sin x + y'/x, z' = x^3 sin x / x + z / x = x^2 sin x + z / x.
Теперь проведем замену переменной: u = x^2, v = z. Тогда новая система будет иметь вид: v = u sin sqrt(u) + v' / sqrt(u), v' = u sin sqrt(u) + v / sqrt(u).
Это уравнение типа ОДУ нижнего порядка, и мы можем решить его методом вариации произвольных постоянных.
2) Квадратное характеристическое уравнение для данного дифференциального уравнения: r^2 + 12r + 40 = 0. Решим его как квадратное уравнение: D = 12^2 - 4*40 = 144 - 160 = -16, r1,2 = (-12 ± √(-16)) / 2 = -6 ± 2i.
Общее решение системы дифференциального уравнения: y(x) = c1 e^(-6x) cos(2x) + c2 e^(-6x) sin(2x).
3) Квадратное характеристическое уравнение для данного дифференциального уравнения: 10r^2 - 1 = 0. Решим его как квадратное уравнение: r1,2 = ±√(1/10) = ±(1/√10).
Тогда общее решение будет иметь вид: y = c1 e^(x/√10) + c2 e^(-x/√10).
1) Для начала перепишем уравнение второго порядка в виде системы двух уравнений первого порядка, введя новую переменную z = y'.
Тогда система уравнений будет иметь вид:
y' = z,
z' = y'' = (x^3 sin x + y') / x.
Подставляем второе уравнение в первое:
z = x^2 sin x + y'/x,
z' = x^3 sin x / x + z / x = x^2 sin x + z / x.
Теперь проведем замену переменной: u = x^2, v = z.
Тогда новая система будет иметь вид:
v = u sin sqrt(u) + v' / sqrt(u),
v' = u sin sqrt(u) + v / sqrt(u).
Это уравнение типа ОДУ нижнего порядка, и мы можем решить его методом вариации произвольных постоянных.
2) Квадратное характеристическое уравнение для данного дифференциального уравнения: r^2 + 12r + 40 = 0.
Решим его как квадратное уравнение:
D = 12^2 - 4*40 = 144 - 160 = -16,
r1,2 = (-12 ± √(-16)) / 2 = -6 ± 2i.
Общее решение системы дифференциального уравнения:
y(x) = c1 e^(-6x) cos(2x) + c2 e^(-6x) sin(2x).
3) Квадратное характеристическое уравнение для данного дифференциального уравнения:
10r^2 - 1 = 0.
Решим его как квадратное уравнение:
r1,2 = ±√(1/10) = ±(1/√10).
Тогда общее решение будет иметь вид:
y = c1 e^(x/√10) + c2 e^(-x/√10).