Найдите объём фигуры, которая является пересечением тетраэдров ABCD и A1B1C1D1. Аня взяла тетраэдр ABCD c ребром sqrt(2) и провела в нём прямую L, соединяющую середины противоположных рёбер AB и CD . Лёша нарисовал тетраэдр A1B1C1D1 , который получился поворотом тетраэдра ABCD относительно прямой L на 90 градусов . Найдите объём фигуры, которая является пересечением тетраэдров ABCD и A1B1C1D1. В качестве ответа введите натуральное число или несократимую дробь, например: 1/2.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Обозначим вершину тетраэдра ABCD через O, середины противоположных рёбер как M и N соответственно. Так как длина ребра тетраэдра ABCD равна sqrt(2), то MO = NO = sqrt(2)/2.

Таким образом, прямая L проходит через точку O и середины рёбер AB и CD. Так как Лёша повернул тетраэдр ABCD на 90 градусов относительно прямой L, то вершина тетраэдра A1B1C1D1 лежит на прямой, перпендикулярной к L и проходящей через точку O.

Обозначим середины рёбер A1B1 и C1D1 как M1 и N1 соответственно. Так как тетраэдр A1B1C1D1 повернут на 90 градусов относительно тетраэдра ABCD, то также имеем M1O = N1O = sqrt(2)/2.

Таким образом, объём фигуры, которая является пересечением тетраэдров ABCD и A1B1C1D1, равен V = 1/3 S h, где S - площадь основания, h - высота.

Так как фигура является пересечением тетраэдров, то высота равна OO1, где O1 - вершина тетраэдра A1B1C1D1. Длина OO1 равна sqrt(2)/2 в силу равенства MO = M1O.

Теперь определим S - площадь основания. Поскольку тетраэдры ABCD и A1B1C1D1 являются подобными, то S/S1 = (MO/M1O)^2, где S1 - площадь основания тетраэдра A1B1C1D1. Так как MO = M1O = sqrt(2)/2, то S/S1 = 1/2, откуда S = S1/2.

Таким образом, V = 1/3 S1/2 sqrt(2)/2 = S1 * sqrt(2)/12.

Так как площадь основания тетраэдра ABCD равна sqrt(3)/4 по формуле S = sqrt(3)/4 a^2, где a - длина ребра, то площадь основания тетраэдра A1B1C1D1 равна 2 S = sqrt(3)/2.

Итак, V = sqrt(3)/2 sqrt(2)/12 = sqrt(6)/12 = 1/2 sqrt(6).

Ответ: 1/2 * sqrt(6).